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一、计算题

1． 设

是来自

的样本，经计算

的随机变量的分布函数，注意到t 分布是对称的，故

利用统计软件可计算上式，譬如，使用则给出这里的

直接输入

软件在命令行输入则给出

2． 在检查了一个车间生产的20个轴承外座圈的内径后得到下面数据（单位:mm ）:

15.04 15.36 14.57 14.53 15.57 14.69 15.37 14.66 14.52 15.41 15.34 14.28 15.01 14.76 14.38 15.87 13.66 14.97 15.29 14.95 (1)作正态概率图，并作初步判断；

(2)请用W 检验方法检验这组数据是否来自正态分布

.

具体数据为

【答案】 (1)a.首先将数据按从小到大的顺序排列:

13.66 14.28 14.38 14.52 14.53 14.57 14.66 14.69 14.76 14.95 14.97 15.01 15.04 15.29 15.34 15.36 15.37 15.41 15.57 15.87 b. 对每一个i ，计算修正频率，结果见表:

表

1

试求

【答案】因为用

表示服从

就表示自由度为k 的t 分布在x 处的分布函数. 于是有

c. 将点. 逐一描在正态概率图上(利用软件) ，

得到内径数据的概率图正态置信区间

图

d. 观察上述点的分布，可以判断上述20个点基本在一直线附近. (2)W检验. 由数据可算得为计算方便，建立如下表格

表

2

，

从上表中可以计算出W 的值

:

当n=20时，查表知内，

故在显著性水平

上不拒绝原假设，即可以认为这批数据服从正态分布.

若已知分位数

3． 某种绝缘材料的使用寿命T （单位:小时）服从对数正态分布小时，

小时，求和.

的平p 分位数为

其中

为标准正态分布N （0, 1）的P 分位数，所以根据题意有

代人上面两式，可解得

，拒绝域为，由于样本观测值没有落入拒绝域

【答案】正态分布

将

4． 验证:正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体伽玛分布

，其密度函数为

则

的后验分布为

，其中

已知，

为其样本，取

的先验分布为倒

即

，这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差

（均值已知）的共轭先验分布.

5． 某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查，下面是其不完整的频率分布表:

表

1

（1）试将频率分布表补充完整；

（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？ 【答案】（1）由于频率和为1, 故空缺的频率为（2）该公司上班所需时间在半小时以内的人所占频率为

该公司有职工

250人，故该公司上班所需时间在半小时以内的人有人.

6． 设分别自总体_和中抽取容量为n 1和n 2的两独立样本，

其样本方差分别为

试证，对于任意常数a , b （a+b=1）,

Var （Z ）达到最小.

【答案】由已知条件有

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使