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一、计算题

1． 设总体密度函数为

【答案】对数密度函数为

将上式对θ求导，得到

二阶导函数为

2． 把一颗骰子独立地掷n 次, 求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数从而有

欲求

, 故先求

. 由于

且因为和

均为仅取0, 1值的随机变量, 所以

由此得综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的, 因为在掷n 次骰子中, 1点出现次数多必使6点出现次数少.

3． 设

与

独立同分布, 其共同分布为

试求

与

的相关系数,

而当

时, 由于

与相互独立, 所以

（第i 次投掷

时, 不可能既出现1点、同时又出现6点）, 因此当i=j时, 有

6点出现的次数

于是

x ＞c ，c ＞0已知，θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.

其中3与13为非零常数.

【答案】先计算Y 与Z 的期望、方差与协方差

.

然后计算Y 与Z 的相关系数

.

4． 设随机变量X

的分布为均匀分布

求:

的分布函数；求期望

在给定

当y ＜0时，当

时，

；当

时，

当

时，

的条件下，随机变量:

服从

【答案】（1）分布函数

故分布函数为

（2）概率密度函数为，

则

5． 设随机变量X 的密度函数如下，试求E （2X+5）

.

【答案】因为

所以

6． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100kg ，标准差为1.2kg. 某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：

设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取【答案】这是一个双侧假设检验问题，总体检验拒绝域为

若取

查表知

）？

，待检验的问题为

由样本数据算得，

此处u 值未落入拒绝域内，因此不能拒绝原假设，不能认为这一天包装机的工作不正常.

7． 设曲线函数形式为出；若不能，说明理由.

【答案】能. 令

则变换后的函数形式为v=lna+bu.

8． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？

【答案】设事件A 为“颗骰子掷4次，至少出现一次6点”，则. 为“一颗骰子掷4次，不出现6点”，于是

又设事件B 为“两颗骰子掷24次，至少出现一次双6点”，则瓦为“两颗骰子掷24次，不出现双6点”，于是

从计算结果可以看出：赌徒的感觉是不对的，因为两者的概率相差0.0263，而概率相差0.0263的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只有从理论上才能识别.

问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给

二、证明题

9． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为

证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为

则

与的联合分布为

所以，