2018年仲恺农业工程学院农业昆虫与害虫防治314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
专注考研专业课13
年，提供海量考研优质文档！
（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解
. 时
的矩阵
A ，满足
且
故原方程组的通解为
（3
）当
（4）当
3． 已知
实二次
型
即
时
此时方程组无解.
其中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，
B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A 有特征值
即
是属于
A 的特征值.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B
的第1
, 2列线性无关
，量，从而知A 有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
再将正交向量组单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ
）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型 4．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：