2018年仲恺农业工程学院粮食、油脂及植物蛋白工程314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
则由正交变换
化二次型为标准形
（
Ⅱ）由于
故
故二次型
2． 已知对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.此时
是二重根，
故
于是
是矩阵
的二重特征值，求
a 的值，并求正交矩阵Q 使
为
必有两个线性无关的特征向量，于是
知
解（2E-A ）x=0, 得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
3．
已知
通解是
.
,
证明
【答案】
由解的结构知
是4
阶矩阵，其中
是4维列向量.
若齐次方程组Ax=0
的的基础解系
.
是齐次方程组
故秩
又由
得
因与
可知
综上可知
，
4． 已知
有
即故
都是
的解.
由
线性无关. 由
是
得
的基础解系.
那么
其中E 是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵，
求矩阵A
【答案】对
作恒等变形，有即
由故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，