2018年仲恺农业工程学院农药学314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
2． 设n 维列向
量线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
【答案】
记
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
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从而组的基础解系为数.
3
． 设B 是
（I ）证明
（
II
）证明（III
）若【答案】⑴
有无穷多解
. 易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
矩阵
逆
其中E
是n
阶单位矩阵.
且
A 可对角化，求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或
1. 又存在可逆矩阵p ,
使
或1.
4．
已知
通解是.
, 证明
【答案】由解的结构知
是4
阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量.
若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由得
因即故
都是的解. 由
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与
可知
有
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
综上可知
，
二、计算题
5． 已知向量组A
:
【答案】
记矩阵因A 组与B
组等价
故求矩阵（B ，A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩
.
即知R （B ）=R（B ，A ）=2, 且
，因此，向量组A 与B 等价.
6．
设
是非齐次线性方程组AX=B的一个解
，
线性无关；
线性无关.
用矩阵A 左乘上式两边，并注意题设条件，得
但
，
由上式知
，于是，（1）式成为
因向量组于是
（2）设有关系式
也即
由（1），
向量组
，于是
B
：
证明A 组与B 组等价，
又
与不成比例，故R （A ）=2.
是对应的齐次线性方程组的一个基
础解系，证明
（1
）（2
）
【答案】（1）设有关系式
是对应齐次方程的基础解系，从而线性无关，
，
由定义知
线性无关.
线性无关，
故，并且
也等于0, 故所给向量组线性无关.