2018年仲恺农业工程学院粮食、油脂及植物蛋白工程314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
2． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
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所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B
对应n-1
重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵（
0E-B ）
的特征向量应该有
n-1个线性无关，进一步
矩阵B
存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，
且从而可
知
n
阶矩阵与
相似
.
3．
已知二次型
的秩为2.
求实数
a 的值
；
求正交变换x=Qy使得f
化为标准型.
【答案】⑴由
可得，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为：当
时，解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
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对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
是3维非零列向量，若线性无关； 求
且
线性无关.
线性无关，得齐次线性方程组
4． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
令
非零可知，是A 的个
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
故
二、计算题
5． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使
【答案】充分性：若存在可逆阵U ,
使处的值
即A 与单位矩阵E 合同. 就有
并且A 的二次型在该
任取
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