2018年仲恺农业工程学院农业昆虫与害虫防治314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
矩阵A 满足AB=0, 其
中
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
构
于是
2． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
3． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
4． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
故所求的方程组可取为
将
代入得，
解得此方程组
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，即存在
有非零解，这与
贝
因为A 是
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实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是：
由于B 的特征值全大于0且
B 是对称矩阵，因此
B 是正定矩阵
，且
二、计算题
5． 写出下列二次型的矩阵：
（1）
【答案】⑴记故f 的矩阵为
则
（2）与（1）相仿
，
故f 的矩阵为
6．
设AP=PA
,
其中
求
【答案】因
故P 是可逆阵. 于是，由AP=PA得有因
是三阶对角阵，故
并且记多项式
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