2017年烟台大学概率论基础复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？
【答案】这个概率可用几何方法确定，记x 和y 分别为甲乙两艘轮船到达码头的时间，则（x ，y ）的可能取值形成边长为24的正方形
其面积为
而事件A“不需要等候码头空出”有两
另一种情况是乙
所以事件A 可表示
为
种可能情况：一种情况是甲船先到，则乙船在一小时之后到达，即满足船先到，则甲船在两小时之后到达，即满
足
所以由几何方法得
所以事件A 的区域形成了图中的阴影部分，
其面积为
图
2． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值
（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】（1）此处
，的
置信区间为
从而的置信水平为0.95的置信区间[0.1487，0.4215] （2）当未知时，的查表得
置信区间为
，因而的置信水平为0.99的置信区间为
第 2 页，共 18 页
，样本标准差s=0.22.
（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；
查表知
3． 口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的. 现再往口袋中放入一个白球，然后从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？
【答案】记事件A 为“取出的是白球”，事件B 为“原来那个球是白球”.容易看出
：
另外由于对袋中原来那个球的颜色一无所知，故设是合理的. 由贝叶斯公式得
4． 写出以下正态分布的均值和标准差
.
【答案】对
有
所以
对
的均值有
所以对
的均值
_有
所以
的均值
标准差
标准差
标准差
5． 某单位调查了520名中年以上的脑力劳动者，其中136人有高血压史，另外384人则无，在有高血压史的136人中，经诊断冠心病及可疑者有48人，在无高血压史的384人中，经诊断为冠心病及可疑者的有36人. 从这个资料，对高血压与冠心病有无关联做检验，取
表示
【答案】该题完全类似于上题. 用A 表示有无高血压，它有两个水平：表示有高血压史，表示无高血压史，用B 表示诊断结果，它也有两个水平：表示诊断为冠心病及可疑者，诊断结果正常. 则由已知得下表：
表
检验的假设为
高血压与冠心病无关联，即A 与B 是独立的. 统计表示如下：
第 3 页，共 18 页
此列联表独立性检验的统计量可以表示成
此处此处观测值远远超过临界值，故拒绝原假
设，即认为高血压与冠心病有关系. 此处的P 值为
6． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：
（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；
（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.
【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于：从N-1+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒，故样本点总数为
（1）记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”，不失一般性，可认为第1个盒子中有k 个球，则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中，类似于样本点总数的计算，
此种样本点共有
考虑到球不可辨故
（2）记
为事件“恰有m 个空盒”，它的发生可分两步描述：
种取法.
第一步，从N 个盒子任取m 个盒子，共有
第二步，将n 个球放入余下的N_m个盒中，且这N —m 个盒子中都要有球，
这当然要求
：
或
否则第二步发生的概率为零，为了使第二步能发生，我们设想先把n 个
球排成一行，随机抽取球与球之间的n-1个间隔中的N-m-1个间隔放火柴棒即可，这有种可能.
综合上述两步，所求概率为
（3）若事件C 表示“指定的m 个盒子中恰有j 个球”，这意味着另外N-m 个盒子中放n-j 个球，
第 4 页，共 18 页