2017年聊城大学数学科学学院814高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
【答案】（1）如图1所示，用直线y=x将积分区域D 分成
两部分
于是
图1 图2
（2）D 如图2所示. 在极坐标系中，直线x=2，射线y=x和
，
。因此
又
，于是
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的方程分别是
D 如图3所示. 在极坐标系中，（3）直线y=1-x的方程为的方程为
，因此
于是
（4）D 如图4所示. 在极坐标系中，直线x=l的方程是
，即
; 从原点到两者的交点的射线是
; 抛物线
。故
于是
的方程是
，圆
图3 图4
2． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
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3． 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?
【答案】设最外一圈波的半径为r=r（t ）。圆的面积S=S（t ）。在S=πr 两端分别对t 求导，得
当t=2时，
代入上式得
4． 求幂级数
【答案】
幂级数的系数
的收敛域、核函数.
.
由于
=1，故得到收敛半径R=1，
2
当x=±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为（—1, 1）令和函
数
则
其中
所以
5． 设函数f （x ）和g （x ）均在点x 0的某一邻域内有定义，f （x ）在x 0处可导，f （x 0）=0，g （x ）在x 0处连续，试讨论f （x ）g （x ）在x 0处的可导性。
【答案】由f （x ）在x 0处可导，且f （x 0）=0，则有
由g （x ）在x0处连续，则有故
即f （x ）g （x ）在x 0处可导，其导数为f’（x 0）g （x 0）。
，
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