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一、填空题

1． 函数

【答案】【解析】构造函数

由方程

。则

所确定，则

_____。

2． 设函数

【答案】

。

则

的反函数x=f（y ）在y=0处的导数

-1

=_____。

【解析】当y=0时，即x=-1，则

3． 设为锥面

【答案】【解析】

介于z=0和z=1之间的部分，则

_____。

4． 一阶线性微分方程

【答案】

的通解为_____。

5． 微分方程

【答案】

满足的解为_____。

【解析】

方程的标准形式为

C 为任意常数，再将初始条件

6．

【答案】3

这是一个齐次型方程，

设

代入可得特解为

得到通解为

是_____阶微分方程。

二、计算题

7．

设

在

的某邻域内具有三阶连续导数,

如果

, 不妨设时

,

时

时,

为曲线的拐点。

8． 计算下列极限：

（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）

9． 求下列欧拉方程的通解：

【答案】（1）令

即

并记

则原方程可化为

即

（k 为正整数）。

,

由于, 故

在

, 即函数

, 即函数f （x ）在

在

,

而

,

试问

是否为拐点? 为什么?

【答案】已知在3>0,

当

, 从而当

凸的, 当

的某个邻域内连续, 因此必存内

在

单调增加。又己

知

内的图形是

内的图形是凹的,

所以点

（D +2D+1）y=0

该方程的特征方程为

故原方程的通解为

（2）

令

即

不是特征方程的根，故可

令

中并消去

于是得

即原方程的通解为

10．用

函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围：

，即

，

在n>1

（1）（2）（3）

【答案】（1）令时都收敛。

（2）令当p>-1时收敛。

（3）令当n>0时，当n<0时，故

11．把对坐标的曲线积分

化成对弧长的曲线积分，其中L 为:

（1）在xOy 面内沿直线从点（0，0）到点（l ，l ）;

2

有根于是该方程的通解

并

记则原方程可化

为

有根

即

故齐次

该方程对应齐次方程的特征方程为

方程的通解为

因

是非齐次方程的特解。代

入

得

即

，即，

，即，

当

时收敛。