2017年武汉大学高等数学(理学)(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0） 方程为
2． 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
【答案】（1
）将原方程写成此得离变量，得
代入初始条件：
积分得
两边平方，得
因而特解可表示为
（2）令入初始条
件
代入初始条件
（3）因
并由初始条件x=1,
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，即微分
，两端乘以
得
，
得
故有
即由分
代入初始条件：x=1, y=1，得C=±1，
于是有由于在点x=1处，y=1, 故在x=1的某邻域内y>0,
则
，原方程化为
得
从而
有
得
，故所求特解为故积分得
分离变量即
即
积分得
代
又积分
得
又因x=1时，故积分得
又因x=1时，y=0, 故再积分得
（4
）在原方程两端同乘以
入初始条件：
得
代入初始条件：x=0, y=0,
得
（5）在原方程两端同乘以入初始条件
分
得
代入初始条件：（6
）令
则
得
得从而有
得
于是得特解
分离变量，
得即
积分
或写成
由初始条
又分离变量，
得
得
即并由于
，
故取
积分得
代
分离变量后积
得
得
从而有
于是得特
解
即
即
积分得
分离变量后积分
代即
原方程变为
得
件：y=0, p=0, 积
分
由初始条件
：
，即
3． 计算下列三重积分：
。
，其
中所围立体。
为
由
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，其中
体。
为由所围立
，其中
体。
【答案】（1）由于积分区域为
关于
为由所围立
平面对称，
则令
，
，则
（2）积分区域可分为两部分，利用球面坐标得
（3）积分区域关于平面对称，则令是在第一象限的部分，则
（4）积分区域为图中所围立体，则
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