当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． （格涅坚科大数定律）设

是随机变量序列, 若记

则

服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对

注意到t>0时.

是增函数, 故当

因此有

所以当再证必要性.

设有

因为函数

时, 有

服从大数定律,

即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N ,

当, 得

由于的任意性, 所以

2 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

3． 如果

且.

的特征函数, 由唯一性定理知 有

故当

时, 有

第 2 页，共 34 页

时, 有

时,

, 且X 与Y 独立,

.

试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的

即对任意的

有

于是有

从而

4． 设

成立, 结论得证. 是来自

的样本，证明

为

没有无偏估计.

【答案】（反证法）假设的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即没有无偏估计.

5． 设随机变量相互独立, 且

试证:

【答案】而事件

的联合密度为

从而该事件的概率为

6． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

服从参数

的泊松分布

故

又由泊松分布的可加性知

,

理知

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

7． 如果

【答案】对任意的

试证:首先考虑

的分布函数

第 3 页，共 34 页

因此

其中

为X 的分布函数, 类似有

因此

由上述两个关系式, 再考虑到的任意性,

即可得这就意味着

8． 设总体X 的密度函数为：

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

的置信区间为

（2）取c , d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

证毕.

二、计算题

9． 某地区成年男子的体重X （kg ）服从正态分布

0.25.

（1）求. 少？

【答案】（1）由

第 4 页，共 34 页

若已知

各为多少？

（2）若在这个地区随机地选出5名成年男子，问其中至少有两人体重超过65kg 的概率是多