2017年湖南师范大学物理与信息科学学院603高等数学之高等数学考研冲刺密押题
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一、计算题
1． 在y 轴上求与点A （l ，﹣3，7）和点B （5，7，﹣5）等距离的点.
，由
【答案】根据题意，设所求点为M （0，y ，0）
得y=2.故所求点M （0, 2, 0）.
2． 己知均匀矩形板（面密度为常量
）的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心
且分别与一边平行的两轴的转动惯量。
图
【答案】建立如图的坐标系，使原点o 为矩形板的形心，x 轴和y 轴分别平行于矩形的两边，则所求的转动惯量为
3． 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
图
【答案】以侧面的椭圆长轴为x 轴，短轴为y 轴设立坐标系，则该椭圆方程为
，
取y 为积分变量，则y 的变化范围为[-0.75, 0.75]，对该区间内任一小区间[y，y+dy]，该小区间相应的水深为0.75-y ，相应面积为
，得到该小区间相应的压力
因此压力为
4． 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20m 长的墙壁。问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?
【答案】如图, 设这问小屋的宽为x , 长为y , 则小屋的面积为S=xy。 已知令由
, 即
, 得驻点
知x=5为极大值点, 又驻点惟一, 故极大值点就是最大值点, 即当宽为5m , 长为10m
, 故
时这间小屋的面积最大。
图
5． 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙，且这两种产品的边际成本分别为两种产品的产量分别为x （件）和y （件）6+y（万元/件）。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C （x ，y ）（万元）;
（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本; （Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 ，
【答案】（l ）假设生产甲乙两种产品的总成本函数为C （x ，y ）由于边际成本是积分得因此又由于
所以总成本函数
（2）总产量为50件，即则
所以当y=26时，C （y ）取最小值11118，此时x=24。 即当x=24，y=26时，总成本最小此时甲产品的边际成本是生32万元改变。
6． 求幂级数
【答案】
幂级数的系数
的收敛域、核函数.
.
由于
=1，故得到收敛半径R=1，
。
（3）当x+y=50且总成本最小时，x=24，y=26。
，将
代入到C （x ，y ）中
，故代入求得和
，所以可得
，即
。
。
。
（万元/件）与
此意义是要求总产量为50件时，在甲产品24件时。此时要改变一个单位产量时，成本会发
当x=±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为（—1, 1）令和函数
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