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一、证明题

1． 设随机变量

独立同分布, 且

试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

, 这正是伽玛分布

, 所以由

诸

的相互独立性

得

特征函数

为

的特征函数, 由唯一性定理知

2． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.

【答案】因为

所以

则X 与Y 有函数关系. 试证:X

即X 与Y 不相关.

3． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:

【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为

所以

4． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x）

，

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【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知

由

对上式右端积分作变量变换y=c-t，则

再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则

结论得证.

对称分布函数的这个性质可用图表示：

图

5 来自正态总体．对称, 且

【答案】记正态分布的样本中位数

的密度函数为

令

此变换的雅可比行列式的绝对值

于是y 的密度函数为

其中可得

这表明密度函数与E

是偶函数, 从而

g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有

与

分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质

的容量为

f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（

的样本中位数是

证明

的密度函数关于

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6． 设为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为

则在给出样本

后的后验分布密度函数为

其中

和

其中验分布.

（2

）当已知时，不妨设c

服从伽玛分布

都已知. 则给出样本

即

其中

后c 的后验分布密度函数

因此，

所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先

这说明

证明完成.

，则这说明

即

8． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

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7 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．

【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE

，即

且

的无偏估计，故其差

由判断准则知

是0的无偏估计，

的概率分别

是证明

：