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一、证明题

1． 设随机变量

相互独立, 且

试证:

【答案】而事件

从而该事件的概率为

2． 如果

且.

有

故当即对任意的

时, 有

有

于是有

从而

成立, 结论得证.

3． 证明:对任意常数c , d , 有

【答案】

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的联合密度为

试证:P （X=Y）=1. 【答案】对任意的

由得

因而结论成立. 4 设分别自总体．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，V ar （Z ）达到最小，此时

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是的线性无偏估计类

5． 设为来自指数分布样本独立，其中

（1）求假设

中方差最小的.

的样本，

为来自指数分布

的样本，且两组

的样

该无偏估计为

中抽取容量为

，的两独立样本其样本方差分别为

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

是未知的正参数.

的似然比检验；

（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量

在原假设成立下的分布.

【答案】样本的联合密度函数为

参数空间分别为

下参数的最大似然估计

为

而

在

由微分法容易求出在

下参数的最大似然估计

为

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则似然比统计量为

由求导可知，函数为

或者

这就证明了（2）的结论.

为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写

注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得

再注意到

诸

6． 证明:若

与

诸

则对

有

并由此写出

与

其

中

间的独立性，在原假

设

成立下，有如下抽样分布

：

【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示

为

且u 与v 独立, 从而有

由于

将两者代回可知, 在

时, 若r 为奇数, 则

若r 为偶数, 则

证明完成. 进一步, 当r=l时

, 时,

（此时要求

（此时要

求否则方差不存在）.

否则均值不存在）, 当r=2

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