2018年云南省培养单位昆明动物研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
构
2． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
将
代入得，
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
3．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
故A
有零特征值
的非零解即为
故所求的方程组可取为
解得此方程组
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
对应的特征
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
为4的单重特征值.
为A 的3个
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
4．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
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若要使得原线性方程组有无穷多解，则有及得
此时，原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为非齐次方程的特解为
故其通解为k 为任意常
数.
二、计算题
5． 设A ,
B 都是n
阶矩阵，
且A 可逆，证明
AB 与BA 相似.
【答案】因A 可逆，故
6． 已知线性变换
求从变量【答案】记系数矩阵. 因性变换的矩阵形式为
到变量
，
的线性变换.
，则线性变换的矩阵形式为x=Ay，其中A 为它的
故A 是可逆阵，于是从变量
到变量
的线
由定义
，AB 与BA 相似.