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一、填空题

1． 设常数k>0, 函数

【答案】当当又

故曲线

时, 时,

与x 轴有两个交点, 因此函数

在

内的零点

, 令, 故函数

在

内零点的个数为_____。 , 得驻点x=e 在（0, e]上单调增加;

上单调减少。

,

, 故函数f （x ）在

从而x=e为函数f （x ）的极大值点。由于驻点惟一, 极大值也是最大值且最大值

的个数为2。

2． 设a , b , c ≠0, 若a=b×c , b=c×a , c=a×b , 则∣a ∣＋∣b ∣＋∣c ∣=_____。

【答案】3 【解析】由题意知

由式①②因此， 3． 设

【答案】

，所以

，再由式

，则（t 为参数）=_____.

【解析】由已知条件得，

计算得

4． 函数小值为_____。

【答案】-64 【解析】由

得区域D 内驻点（2, 1）。 在边界在边界在边界令则 5． 曲面

【答案】【解析】构造函数

将点

代入上式，即可得此点处切平面的法线向量为

6．

函数

点的外法线方向的方向导数

【答案】【解析】

球面

其方向余弦为

在点

，则

在由直线，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最

上，上，上

，得

，此时在D 上的最大值为

在点

； ；

，

。，

，最小值为

处的切平面方程为_____。

，则

。

，故切平面方程为

在点_____。

处沿球面在该

处的外法线向量为，

7． 一阶线性微分方程

【答案】

8． 若级数定_____。

【答案】收敛；发散

9． 微分方程

【答案】【解析】

又因为y=1时x=1，解得C=0，故x=y。

2

的通解为_____。

绝对收敛，则级数必定_____；若级数条件收敛，则级数必

满足初始条件

的解为_____。

为一阶线性微分方程，所以

10．级数

【答案】

等于_____。

【解析】由于

故

11．函数

【答案】【解析】构造函数

由方程

。则

所确定，则

_____。