2017年福建农林大学生命科学学院610高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1
．
确。
【答案】在单连通区域G 内，
若
为某二元函
数
本题中有
具有一阶连续偏导数，
则向量的梯度（此条件相当
于
在G 内恒成立。
定
常
数
，
使
在
右
半
平
面
内
的
向
量
为某二元函
数
的梯度，并
求
是u （x , y ）的全微分）的充分必要条件是
由等式
得到
由于
在半平面x>0内，取
，故
即
则得
2． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？
【答案】
因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时
记
，则
第 2 页，共 35 页
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值
令
，故
，
得，
当时
，，
当时
，
为函数f （k ）的最小值点，即当时所给反常积分取得最
小值。
3． 设函数y=y（x ）由方程
所确定，求y ’’（0）。
， （1）
（2）
【答案】把方程两边分别对x 求导，得将x=0代入
得y=1，再将x=0，y=1代入（1）式得
在（1）式两边分别关于x 再求导，可得将
代入（2）式，得 4． 设
（1）求
（2）分别讨论在y>0且x<1且关。
【答案】（1）记
，由于
，其中C 是椭圆周
时，积分
。
，取逆时针方向；
是否与路径无
可考虑用格林公式计算J 。因为P ，Q 在点（0，0）处没定义，所以不能在C 所围的区域D 上直接用格林公式。但可在D 中挖掉以（0，0）为圆心，用格林公式，见下图。求解如下:
充分小为半径的圆所余下的区域中
第 3 页，共 35 页
以（0，0）为圆心，，在
上用格林公式得
，充分小为半径作圆周C ; （取顺时针方向）与C
围成的区域记为
其中
取逆时针方向。
后，可用
的方程化简被积表达式，然后用格林公式得
其中
为
所围成的圆域。
，因此，在Y>0中积分
不是单联通区域，题（1）中已求出
取
使得它含在D 中，因为在D 中存在一条闭曲线
，使得
在区域D ：
5． 设f （x ）可导，求下列函数的导数
。
【答案】（2）
6． 选用适当的坐标计算下列三重积分：
（1）
，其中
为柱面
及平面
所围成的在
且
内时，积分不是与路径无关的。
与路径无关。
用“挖洞法“求得
（2）Y>0是单联通区域，且有区域D ：
第一卦限内的闭区域；
（2）区域；
（3）区域；
第 4 页，共 35 页
，其中是由曲面及平面所围成的闭
，其中是由曲面及平面所围成的闭