2018年中南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:容量为2的样本
【答案】
2． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
的特征函数，由唯一性定理知
:
3． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实.
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的方差为
且X
（2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
4． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
.
，移项即得结论.
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
为来自
的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
未知.
）.
5． 设
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
于是似然比统计量为
在此时
为
时
，由于
，故只需考虑
的情形，
的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知，
6． 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质.
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，这就完成了证明.
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明
:
（1）单调性. 因
为
于是
（2）有界性. 对任意的X ，有
都是分布函数，故
当时，
有
且
（3）右连续性.
7． 设由
明:样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为|
即
，将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
证明完成.
8． 设
证明【答案】
诸
是充分统计量. 的联合密度函数为
注意到
是已知常数，令
取
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独立，是已知常数，