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一、计算题

1． 检查了一本书的100页，记录各页中的印刷错误的个数，其结果如下

表

1

问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取

）.

【答案】这是一个要检验总体是否服从泊松分布的假设检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为：

未知参数可采用最大似然方法进行估计，为

将代入可以估计出诸

于是可计算出检验核计量

表

2

如下表：

若

取查表知

，故拒绝域

为

是样本，试求未知参数的最大似然估计.

由

于

故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为一页的错字个数是服从

泊松分布的. 此处检验的p

值为

2． 设总体概率函数如下，

（1）（2）（3）

【答案】（1）不难写出似然函数为

对数似然函数为

将之关于求导并令其为0得到似然方程

解之可得

而故

的最大似然估计.

（2）此处的似然函数为

它只有两个取值：0和1，为使得似然函数取1，的取值范围应是而的最大似然估计可取

（3）由条件，似然函数为

要使

尽量大，首先示性函数应为1，这说明

其次

要尽量小，

中的任意值. 这说明MLE 可能不止一个.

因

综上可知，的最大似然估计应为的最大似然估计应为

3． 设随机变量X 与Y 相互独立, 试在以下情况下求Z=X+Y的密度函数:

（1）（2）

【答案】Z=X+Y的密度函数可由卷积公式求得（1）因为

中的被积函数大于0的区域必须是分.

所以Z=X+Y可在区间（0, 2）上取值, 且使卷积公式

与

的交集, 此即图1的阴影部

图1

从图中可以看出:当

时, 有

所以得Z 的密度函数如下:（2）因为

中的被积函数大于0的区域必须是

所以Z=X+Y可在

与

上取值, 且要使卷积公式

的交集, 此即图2的阴影部分

.

图2

从图中可以看出:当

时, 有

所以得Z 的密度函数如下:

4． 设随机向量（

当

时, 有

）满足条件

其中

【答案】对等式同理, 对等式

均为常数, 求相关系数

的两边求方差得

由此解得

的两边求方差可得