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一、计算题

1． 每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以99%的把握击中飞机，需要几门高射炮？

【答案】设共需要n 门高射炮，

记事件

而

由此得

两边取对数解得

所以取n=13，可以有99%的把握

击中飞机.

2． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试求（X , Y ）的协方差矩阵.

（1）（2）

【答案】（1）因为

可分离变量, 所以X 与Y 相互独立, 由此知

所以

由此得（X , Y ）的协方差矩阵为

（2）利用

的对称性可得

所以

又因为

所以

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为“第i 门炮射击命中目标”，i=l，2，…，n.

则

又因为

由此得

的协方差矩阵为

3． 设

是来自正态总体

的样本, 的充分统计量.

的联合密度函数为

其中

取

由因子分解定理,

4． 设总体X 的概率密度为_

是来自总体X 的简单随机样本

（I ）求参数的矩估计量； （II

）求参数的最大似然估计量。 【答案】⑴由

令（II

）设

得参数的矩估计量为

其中参数

未知

，

1是

的充分统计量.

是来自另一正态总饵

的样本,

这两个样本相互独立, 试给出

【答案】样本石

为样本观测值，则似然函数为

于是

令

得

故参数的最大似然估计量为

【评注】本题为基础题型，要熟练掌握总体未知参数的两种点估计法：矩估计法和最大似然

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估计法。

5． 设二维随机变量（X , Y ）的联合分布列为

表

1

试求

与

的协方差.

表

2

所以得

由此得

6． 设9件产品中有2件不合格品，从中不返回地任取2件，求取出的2件中全是合格品、仅有一件合格品和没有合格品的概率各为多少？

【答案】仿抽样模型可得

【答案】因为

7． 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率.

【答案】这是一个配对问题. 以A ；记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2，…，n. 因为

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