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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 已知用下列差分方程描述一个线性时不变因果系统

（1）求这个系统的系统函数，画出系统函数的零极点图并指出其收敛域； （2）求系统的单位冲激响应；

（3）判断系统的稳定性，如果不稳定，试找出一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。 【答案】（1）已知：将上式进行变换，得到：

因此：零点：令

求出极点：

极零点分布图如图:

图

由于限定系统是因果的，收敛域需选包含点在内的收敛域，即（2）由题意可知：

式中令当

时：

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因为

是因果序列，

（3）因为

所以易知系统不稳定。

当

时，

内只有极点

只需求点的留数，

当

时，内只有两个极点，

和

那么:

因为

是一个阶极点，改成求圆外极点留数，圆外

如果要求系统稳定，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即：

极点只有一个，即得：

2． 若序列h （n ）是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：

求序列h （n ）及其傅里叶变换【答案】

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3． 求下图所示结构的传递函数及差分方程。

图

【答案】（1）由图（a ）可得差分方程为

对差分方程进行变换得出传递函数

（2）对图 （b ）利用Mason 公式计算传递函数：

所以有：对传递函数

进行逆变换可得其差分方程为：

4． 已知某一序列为（1）试画图举例说明序列（2）试求序列【答案】（1）序列

与

它的傅里叶变换表示为

与

的关系；

与

的关系。

的傅里叶变换，并说明

的关系图如图所示

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