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一、计算题

1 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为一2和2, 方差分别为1和4, 而它们的相关系数为一0.5. ．

试根据切比雪夫不等式, 估计

【答案】因为

所以

2． 设电路由A ，B ，C 三个元件组成，若元件A ，B ，C 发生故障的概率分别是0.3，0.2，0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：

（1）A ，B ，C 三个元件串联； （2）A ，B ，C 三个元件并联；

（3）元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成.

【答案】设事件A ，B ，C 分别表示元件A ，B ，C 发生故障.

（1）因为串联电路中任一元件发生故障，则电路发生故障，于是所求概率为

（2）因为并联电路中所有元件发生故障，则电路发生故障，于是所求概率为

（3）由题意知，所求概率为

3． 设求样本均值

和

【答案】

因而得

和

是两组样本观测值, 且有如下关系

:

和

间的关系.

试

的上限.

间的关系以及样本方差

4． 下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（单位：h ）的观测值

表

设两样本独立且数据所属的两正态总体方差相等，且均值至多差一个平移量. 试问能否认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长（取

）？

【答案】这个问题可归结为关于两总体的均值是否相等的检验问题. 两正态总体方差相等但仍未知，故应采用两样本t 检验. 设X 表示型号A 的计算器充电以后所能使用的时间，Y 表示型号B 的计算器充电以后所能使用的时间，则依题意，

经计算，

从而

其拒绝域为

查表知：

由于检验统计量的待检验的假设为：

取值t ＞2.5176, 故拒绝可以认为型号A 的计算器平燧使用时间明显比型号B 来得长.

5． 假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为

诸观测值相互独立.

（1）写出的最小二乘估计，和（2）对给定的

【答案】（1）由最小乘法原理，令

的无偏估计；

求

则正规方程为

其对应的因变量均值的估计为

从中解得届的最小二乘估计为不难看出

于是，由

有

将

写成

的线性组合，利用

间的独立性，有

由此即有

从而

这给出

的无偏估计为

于是

6． 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以X ，Y ，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

（I

）求

。

（II ）求二维随机变量（x ，y ）的概率分布。

【答案】由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为（I

）

（II ）X ，Y 的可能取值均为0，1，2，且

所以二维随机变量f （x ，y ）的概率分布为

表

（2）对给定的对应的因变量均值的估计为