2018年北京林业大学林学院715数理统计(含概率论)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
时，记Y=X, 试证
相互独立，且服从同一柯西分布，试证:
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性，设若
与
相互独立，则
这正是参数为为
（2）当所以
由于
当然X 与Y 不独立.
不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为
由相互独立
此题说明，由
（3）设
都服从参数为性得:
即
的特征函数为
的柯西分布.
时有
的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，
服从参数
由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布，其密度函数为
常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
但是X 与Y 不独立；
与
同分布.
与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.
2． 设
【答案】一方面
，证明:
另一方面
3．
设总体
【答案】令
，则
对上式求导易知，当
4． 设
则
时上式达到最小，最小值为
的方差
，它小于的均方误差
.
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
5． 证明:对正态分布
服从大数定律.
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在似然估计不存在.
6． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
.
，移项即得结论.
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
.
利用此结果计算
7． 设随机变量X
服从参数为的泊松分布，试证明
:
【答案】
由此得
8． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
二、计算题
9． 求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.
【答案】记
为第颗骰子出现的点数，
分布列为
表
所以
则独立同分布，其共同的