2018年北京林业大学理学院601数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】已知
, 且满足
.
即
证明
:
有下界. 又由
可推出若a=0, 则
,
即
单调递减. 由单调有界定理, 在不等式
存在, 记为a , 则
可知
矛盾.
的极限存在, 并求出其极限值.
两边, 令
由此可见a>0.再在不等式
中, 令
2． 证明:
【答案】
于是, 对于有界性定理知, 存在
故
, 存在
, 使得当
时. 对, 有
. 在[—M , M]上, 由连续函数的
. 于是, 对于一切
为有界函数.
3． 证明下列结论:
f x ）（1）若（在[a, b]上严格递增, 且对f x ）（2）设（与g （x ）
在【答案】（1）假设从而有
（a ）为极限, 从而数列
（2）不妨设g （x ）单调递增. 对
.
由
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可得
为有界函数.
, 即, 解之得a=1.
, 使得当
）有
, 对任意正整数k ,
,
（正常数）, 即数列
的子列
知
,
, 则, 则, 使得
. 不以f
上有定义, g （x ）单调, 且
, 则
已知f （X ）在[a, b]上严格递增, 所以有
也不以f （a ）为极限, 矛盾, 于是
当再证:当即
4． 设
时有
时有
, 由g （x ）单调递增, 则有
, 矛盾. 从而当
,
（反证法）若结论不成立, 即存在
时有
, 使得, 于是
, 即
,
其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.
【答案】因为在正方形的任何部分内, 函数f 的振幅等于1. 所以二重积分不存在. 对固定的y , 若y 为无理数, 则函数f （x , y ）恒为零. 若y 为有理数, 则函数仅有有限个异于0的值,
因此
所以累次积分存在且
同理, 累次积分
5． 证明:若
为
上的连续函数, 且对一切
对任意
.
上连续, 所以
在
有
上存在最大值M.
有
=0. 则f （x ）
其中
,
【答案】
显然
而
在
对于上面的, 有
其中
依次进行下去, 可知存在当又
6． 设
【答案】
同理，
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使得
所以
有，c 为常数
，
，证明:
时, 有连续, 所以
对一切
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所以
二、解答题
7
． 试将
【答案】设又
按
的幂展开成幂级数.
则
, 故
所以
由
即
可得x>0, 所以
8
． 计算第二型曲面积分
【答案】显然
因球面的外侧单位法向量为所以
9． 求由下列方程所确定的隐函数的导数.
（1）
, 求
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及
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