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一、解答题

1． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与由

的解.

对

得到

所以矩阵

的基础解系为

则既可由

对

作初等行变换，有

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为 2．

已知

对角矩阵.

【答案】A 是实对称矩阵

，

是二重根，

故

必有两个线性无关的特征向量，于是

是矩阵

的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q

使

为

其中t 为任意常数.

线性表出，也可

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

贝腕阵

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

线性表出，

故可设

于是

可得a=2.

此时

于是知

解（2E-A ）x=0,

得特征向量将

正交化：

解（8E-A ）x=0，

得特征向量先

再将单位化，得正交矩阵：

且有

3． 设A

为

的解为【答案】

由

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，

则

由

.

得

有

4． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又

线性无关.

求

有惟一解知

则方程组

. 即

即

矩阵

且有唯一解. 证明：

矩阵为A 的转置矩阵）.

易知

于是方程组可逆.

为可逆矩阵，

且方程组

只有零解.

使

.

所

只有零

有非零解，即存在

有非零解，这与

是3维非零列向量，若线性无关；

且

令

非零可知，是A 的个

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令即由

线性无关

，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0, 所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

故

二、计算题

5．

在

中取两个基

试求坐标变换公式.

【答案】记

：到基

:的过渡矩阵为

于是

故得坐标变换公式为

即从基

. 用矩阵的初等行变换求