2018年仲恺农业工程学院林木遗传育种314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
2．
已知
且
.
求
又
又
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，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
故
【答案】
由题意知
得
故
知
知
即
3． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
矩阵A 满足AB=0, 其
中
为标准形，并写出所用正交变换；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
有
进而
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又
所以由
于是
得
4
．
设矩阵.
【答案】
求
A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3
个不同特征值，故
4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当
a=0时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）当
时，
此时
A
有二重特征值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
二、计算题
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