2018年仲恺农业工程学院农产品加工及贮藏工程314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
2． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，
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知的基础解系，
即为
的特征向量
由线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
3． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
且秩
的值.
即或
贝
因为A 是
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
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4．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
二、计算题
5． 在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村. 假设该国总
人数不变，
且上述人迁移的规律也不变. 把n
年后农村人和城镇人
占总人的比例依次记为
和
（1
）求关系式
中的矩阵A ;
求
（2）设目前农村人口与城镇人口相等
，【答案】（1）这是一个应用问题.
关系式可看做是向量
的递推关系式，从而有
即把应用问题归结为求A
的
遵循这一思路，先求A. 由题设，有
故
的特征向量为
再求A 的特征值和特征向量. 易求得A
的特征值对应于
的特征向量为
对应于
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