2017年首都师范大学计算数学概率论与数理统计应用数学数学与信息技术(一)之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． A 是一个实矩阵，证明秩
是（2）的解，
即
则有
即有
同解. （1）、（2）
个解.
故
2． 求齐次线性方程组
的解空间（作为欧氏空间
的子空间）的一标准正交基.
于是
也是（1）的解. 这证明了（1）、（2）
和
的基础解系中有同样多的解. （1）、（2）的基础解系中应各有
于
是
【答案】考察下列两个齐次方程组
显然（1）的解是（2）的解. 反之
设
令
【答案】易知方程组系数矩阵的秩是2, 从而有三个自由未知量，解空间是三维的.
取
作为自由未知量，可得一基础解系（即解空间的一基）
：
将
此基正交化，可得解空间正交基：
再标准化，可得解空间一标准正交基：
3． 设B 是实数域上
【答案】（1）
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矩阵，对任一大于0的常数n , 证明定义了
单位矩阵.
的一个内积，使得成为欧氏空间. 其中表示列向量的转置，E 表示
（2）
（3）
（4）
由于
所以
由上可知
，
定义了
上
的一个内积，从而成为欧氏空间. 4． 设是线性空间V 的两个线性变换，如有V 的可逆线性变换S ，使相似. 证明, 得阵要性因
任取
故有
【答案】取定线性空间V 的一组基. 设T ,
相似，则存在可逆矩阵S ，使如
则因
的自然
基
即
所以
5． 在标准欧几里得空间
线性子空间【答案】由
所以
是W 的基. 解线性方程组
中有向量
求向量
在w 上的正交投影.
即
相似. .
由
可
得
从而有
充分性由题设，存在可逆阵S ，
对
在该基下的矩阵仍记为
中任给向量
显见问题等价于矩
. 如.
可得
必
相似的充要条件是，存在可逆阵S ，使
则称
可
相似的充要条件是：存在可逆线性变换S ，使对V 中任一向量，由
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解得
6． 设
故在W 上的正交投影为
为次数大于零的两个互素的多项式.
次数案故
】设
代入（5）得由于设另有（7）减（8）:于是
必
u
同理有
是线性方程组
7． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和为3, 向量
的两个解.
（1）求A 的特征值与特征向量. （2）求正交矩阵Q 和对角阵D ，便（3）求行列式【答案】（1）由意到A 是3阶矩阵，故不全为0的实数；
（2）将
正交化，则
再单位化，得
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证明：存在唯一的【由于
答，
次数，
因
次数为
次数使
故
有
故
从而由（6）知：
又因为
故
其中B 是
的相似矩阵，
是B 的伴随矩阵.
的两个线性的特征向量. 注
是
是线性方程组的解，则是A 的属于特征值是A 的属于特征值
无关的特征向量. 由A 的各行元素之和为3, 则
是A 的特征值，对应的特征向量分别
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