2017年上海市培养单位上海光学精密机械研究所601高等数学(甲)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求对数螺线
【答案】 2． 设
【答案】
，其中f 具有连续的二阶偏导数，求
。
相应于
的一段弧长。
3． 收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元。
（l ）将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; （2）将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; （3）某一销售商订购了1 000台，厂方可获利润多少?
【答案】设订购x 台，实际售价每台p 元，厂方所获利润P 元. 则按题意，有 当
时，
，但最低价为75，即降
于是，当
时，
当
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当x>100时，超过100台的订购量为x-100，售价降低价数不超过90-75=15，故
时
，
因此，有 （1）
（2）
（3）
4． 将xOz 坐标面上的圆
【答案】以即
5． 求当x →0时，
【答案】由题意知
因为
所以
因为 6． 用
函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围：
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（元）。
绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.
代替圆方程
中的x ，得
的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在。
，所以不存在。
（1）（2）
（3）
【答案】（1）令时都收敛。
（2）令当p>-1时收敛。
（3）令当n>0时，当n<0时，故
7． 设函数
由方程，即，即
，即
，
在n>1
，
，
当
时收敛。
确定, 求f （x ）的极值。
【答案】由题意, 在方程两边同时对x 求导一次, 得到
（1） 即令
及
, 故得到函数惟一驻点
在（l ）式两边同时对x 求导一次, 得
把x=l, y=-2, y’（l ）=0代入, 得
, 故函数
在x=1处取得极小值y=-2。
8． 当正在高度H 飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图所示，从飞机到机场的水平地面距离为L 。假设飞机下降的路径为三次函数确定飞机的降落路径。
的图形，其中
试
【答案】设立坐标系如图所示。根据题意，可知
为使飞机平稳降落，尚需满足
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