2017年上海市培养单位上海光学精密机械研究所601高等数学(甲)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列反常积分：
（1）（2）
【答案】（1）x=0为被积函数
的瑕点，而
故又
收敛。
，而
因此
故
（2）记被积函数为当α＞0时，令
，得到
故
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，则当α=0时，
，因此当α≥0时，
，又
收敛。
2． 求点（a ，b ，c ）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.
，关于yOz 面的对称点是（﹣【答案】（l ）点（a ，b ，c ）关于xOy 面的对称点为（a ，b ，﹣c ）a ，b ，c ），关于zOx 面的对称点为（a ，﹣b ，c ）
，关于y 轴的对称点是（﹣a ，b ，（2）点（a ，b ，c ）关于x 轴的对称点是（a ，﹣b ，﹣c ），关于z 轴的对称点是（﹣a ，﹣b ，c ）﹣c ）·
（3）点（a ，b ，c ）关于坐标原点的对称点是（﹣a ，﹣b ，﹣c ）.
3． 设向量的方向余弦分别满足（1）与坐标轴或坐标面的关系如何?
【答案】（1）由（2）由（3）由
，知α=
，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.
，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂
知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.
，知α=β=
；（2）
；（3）
，问这些向量
直于xOy 面.
4． 设直线L 过A （1, 0, 0），B （0, 1, 1）两点，将L 绕z 轴旋转一周得到曲面，与平面z=0，z=2所围成的立体为.
（1）求曲面的方程； （2）求的形心坐标. 【答案】（1）直线L 的方程为
，令
设M （x ，y ，z ）为曲面
上的任意一点，则
计算得曲面
的方程为
（2）设的质心坐标为设计算过程如下
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，得
，由对称性知，
，则
，分别计算
和
，
故
的质心坐标为
5． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，
则
，求f （u ）的表达式。
【答案】设
，则
满足，
若
，则
由条件对方程
，可知进行求解，其通解为
，其中
为任意常数 代入，可得
将初始条件
解得，故f （u ）的表达式为
6． 判别下列方程中哪些是全微分方程? 对于全微分方程，求出它的通解。
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