2018年山东科技大学数学与系统科学学院848线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ
）由于
则由正交变换
故
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化二次型为标准形
故二次型
2．
已知
其中E
是四阶单位矩阵
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
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3
．
已知对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量
，于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，
并求正交矩阵Q 使
为
解（2E-A ）x=0, 得特征向量将
正交化：
解（
8E-A ）
x=0，
得特征向量先
再将
单位化，得正交矩阵：
且有
4．
设n 阶实对称矩阵A 满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ）证明[!
【答案】（Ⅰ）设
的规范形；
且秩
的值.
即
贝
是正定矩阵，并求行列式
为矩阵A 的特征值，对应的特征向量为
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