2018年厦门大学金融系396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故 2．
设的所有矩阵.
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3
矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；的所有矩阵为其中
为任意常数.
3． 设二次型
（1）证明二次型f 对应的矩阵为（2）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为
4． 已知
A 是
3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与
A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量
： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与
B 相似
.
是
3维线性无关列向量，且
，由于
所以为矩阵对应特征值
所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量； 的特征向量
； 也是矩阵的一个特征值；
（Ⅱ）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量那么由：即
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