2018年厦门大学金融系396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
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2
． 设三阶方阵A 、
B
满足式
的值
.
其中
E 为三阶单位矩阵.
若求行列
【答案】由矩阵知则. 可
逆. 又故即
所以即
而
故
3．
设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型
（
Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
矩阵A 满足AB=0, 其
中
为标准形，并写出所用正交变换；
知
，矩阵B 的列向量是齐次方程组
Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据值是0, 0, 6.
设有
对
正交化，令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量
.
由此可知，是矩阵A 的特征
故知矩阵A 有特征值
因此，矩阵
A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
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再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
且
其
中
于是
4． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：