2018年山东科技大学数学与系统科学学院848线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
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则矩阵
解得
B 矩阵的特征值为
：当
时
，解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
对于解
得对应的特征向量为：
将单位转化为：. 令X=Qy,
则
3．
已知
，求
【答案】令
则且有1
所以
4． 设n 阶实对称矩阵A 满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ）证明
的规范形；
是正定矩阵，并求行列式
且秩
的值.
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【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
即或
贝
因为A 是
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
二、计算题
5．
设
求
【答案】利用矩阵A
的相似对角阵来求（1）求A 的特征值：
所以A
的特征值为（2
）对应
解方程
并且它们互不相同，知A 可对角化. 由
得特征向量
对应
解方程由
得特征向量对应
解方程
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