2018年牡丹江师范学院理学院613量子力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、简答题
1． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
2． 波函数【答案】
与
是否描述同一状态？
描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
二、综合分析题
3． 设氢原子处于状态【答案】对于氢原子定态波函数
有：
求氢原子能量、角动量平方
及角动量分量的可能取值及其相应的几率，并求这些力学量的平均值。
其中，题中给定
的
末归一化。
经归一化
已
按
展开，且
有
所以当氢原子处于状态相应几率为1，平均值为
相应几率为1，平均值为
平均值
为
显
然
时：
即
（1） 能量的可能取值为（2）角动量平方的可能取值为（3） 角动
量
分量的可能取值
为
相应几率
为
4． —刚性转子转动惯量为
它的能量的经典表示式是系在下列情况下的定态能量和波函数： （1）转子绕一固定的轴转动。 （2）转子绕一固定点转动。
【答案】（1）设该固定轴沿z 轴方向，则有哈米顿算符设波函数为令取其解为由波函数的单值性即
P
转子的定态能量：定态波函数由归一化条件
所以，转子的归一化波函数为
则本征方程为则有
，即
为角动量。求因此对应的量子体
（2）取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为本征方程
式中
为其本征值。
设为的本征函数
令则有此即为角动量
能量分立且为
的本征方程，其本征值为：
其波函数为球函数所以，转子的定态能量为
5． 粒子在一维势场【答案】
设
函数，故只需证明
重简并。
中运动，属于不同能级的束缚态波函数互相正交。
的束缚态波函数，
由于是一维束缚态
都是实
分别属于能级
均应满足定态薛定谔方程，即：
以
左乘①式，再左乘②式，然后相减，即得：
对全空间积分，得：
束缚态波函数在无穷远处必须为因此，当
有：
即
正交。
试写出描写该系统的哈密顿量。
6． 电子在二维均匀磁场中运动，【答案】可取
系统的哈密顿量为：
7． 从坐标与动量算符的对易关系（【答案】角动量算符
则有：
等）推出角动量算符与动量算符的对易关系。
同理可得
8． 当前冷原子物理研宄非常活跃。在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为的自旋，参数
。假如粒子间有相互作用
其中
分别代表粒子1和粒子2
（1）如果把两个自旋的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；
（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数（注意：参数在不同范 围内，情况会不同）
【答案】（1）两个自旋的全同粒子在势阱中，体系哈密顿量为：
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