2018年牡丹江师范学院理学院613量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、简答题
1． 写出在【答案】
2． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
表象中的泡利矩阵。
二、综合分析题
3． 氢原子处于基态，沿Z 方向加上一个均匀弱电场五，求电场作用后的基态波函数至一级近似，基态能级至二级近似。 【答案】取外电
场
则有：
其中：
4． 对氢原子基态求是波尔半径。
【答案】氢原子基态波函数为不变性，有又：
按位力定理，对于氢原子，动能的平均值
对于能量本征态
因此：
考虑到氢原子波函数具有空间旋转和空间反射
并验证测不准关系。氢原子基态波函数为
其中
沿
轴方向，
则
为奇宇称算符。
由于氢原子基态非简并，所以
：
这是由于
对于氢原子基态，所以
即：
由氢原子基态波函数的球对称性可知：
所以有：
5． 两个质量为的粒子被局限在边长a ＜b ＜c 的长方体盒中，粒子间的相互作用势可视为微扰，在下列条件下用一级微扰方法计算体系的最低能量： （1）粒子为非全同；
（2）粒子为零自旋的全同粒子； （3）粒子为自旋积分公式：
【答案】（1）先不考虑微扰，单粒子态波函数与能量分别为
当2个粒子均处于单粒子基态
时，体系能量最低，此时波函数为：
能量为：
此态是非简并的，
为零级近似波函数，能量一级修正为：
的全同粒子，并处在总自旋S = 1的态上。
一级近似能量为：
（2）波函数与能量同（1）。
（3）总自旋S=1，自旋波函数为交换对称的，这就要求空间波函数是交换反对称的，两个粒子不可能同处于同一粒子态上，只能是一个在
一个在
（因a ＜b ＜c ）空间波函数为：
m = 0, ±l
其中：
能量为：
虽然能量
是三度简并的，但因
故仍可用非简并微扰方法处理，一级修正能量为：
所以：
6． 求低能（s 波）粒子在球方势垒上的散射总截面
【答案】
满正方程
令因此，同样，
式的解为：
已知粒子的能量
得：
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