2016年南京师范大学教育科学学院高等数学(同等学力加试)复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设抛物线y=ax2+bx+c通过点（0，0），且当x ∈[0, 1]时，y ≥0。试确定a ，b ，c 的值，使得
2
抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体
的体积最小。
2
，可得c=0。 【答案】由已知条件：抛物线y=ax+bx+c通过点（0，0）2
抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为
从而得到
，即
。该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为
因此当b=2时体积最小，此时此抛物线满足y ≥0, 故所求解：
，抛物线为
，b=2，c=0符合题目要求。
，在区间[0, 1]上，
2． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积:
（1）（2）
，
，由于图形关于极轴的对称性（如图1），
【答案】（1）首先求出两曲线交点为
因此所求面积为极轴上面部分面积的2倍，即得
（2）首先求出两曲线交点为
和
，因此有
由于图形的对称性（如图2）
图1
图2
3． 判断下列级数的收敛性：
【答案】（1）此级数为公比（2）此级数的部分和
而
即该级数发散。 （3）此级数的一般项级数发散。
（4）此级数为公比（5）此级数的一般项等比级数，而收敛。
故
与
的等比级数，因
注意到
故该级数发散。
分别是公比
与
的
有
不满足级数收敛的必要条件，故该
故
的等比技术，因
故该级数收敛。
均收敛，根据收敛级数的性质可知，原级数
4． 某厂生产如图所示的扇形板，半径R=200mm，要求中心角a 为55°。产品检验时，一般用测量弦长1的办法来间接测量中心角α，如果测量弦长1时的误差角测量误差
是多少?
，问由此而引起的中心
图
【答案】如图，由故
当
时，
将
代入上式得
5． 求上半球面和xOz 面上的投影.
【答案】如图所示. 所求立体在xOy 面上的投影即为
得所围成的区域.
z 轴及曲线故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，
，而由
与圆柱体
的公共部分在xOy
得
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