2017年厦门大学数学科学学院825高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 直线L ：
【答案】较为简单，即
则有
即所求旋转曲面的方程为
2． 将
【答案】
【解析】积分域如下图所示，则
化为极坐标下的二次积分为_____。
绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为_____。
【解析】求空间直线绕某一坐标轴旋转一周所得的曲面方程，可首先将该直线化为参数方程
3． 平行于平面
【答案】
【解析】由于所求平面与平面所求平面可设为
图
且与此平面距离为3的平面方程为_____。
平行，即两平面具有相同的法向量，故
在平面的距离公式可知
代入方程
上任意找出一点，不妨该点为（0, 0, -18）. 又根据点到平面解得
得所求平面方程为
4． 设a=（2, 1, 2），b=（4，﹣1, 10），c=b－λa ，且a ⊥c ，则λ=_____.
【答案】3
c=b－λa==. a⊥c , 故a ·c=【解析】（4，﹣1, 10）－λ（2, 1, 2）（4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）（2, 1, 2）（·4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）=27－9λ=0, 从而λ=3.
5． 当a=_____, b=_____时微分。
【答案】【解析】若要使满足
则 6． 设
【答案】0 【解析】因为
，所以
，其中函数f （u ）可微，则
=_____.
恰为某函数的全微分，则需满足，解得
则
。
。结合题意知，需要
恰为函数_____的全
7． 已知球面的一条直径的两个端点为（2, -3.5）和（4, 1, -3）, 则该球面的方程为_____。
【答案】
【解析】已知球面直径的两个端点，则可根据线段中点的计算公式求得该球面的球心坐标为
即（3, -1, 1）, 又球的半径就是这两个端点间距离的一半，故
即所求球面方程为
8． 设函数
【答案】【解析】由
当x=e时，
求。
，所以
则
。
二、计算题
9． 求通过点A （3，0，0）和B （0，0，1）且与xOy 面成了
【答案】设所求平面方程为
角的平面的方程.
，B （0，0，l ），故a=3，c=1.这样平面方程为
平面过点A （3，0，0）
它与xOy 面成
角，故
即
故所求平面为
10．求曲线
【答案】曲线在对应于t=1的点位
在对应于t=1的点处的切线及法平面方程。
，该点处的切向量
于是曲线在该点处的曲线方程为
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