2018年西北师范大学物理与电子工程学院621高等数学(含线性代数)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
2． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
矩阵
且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
为可逆矩阵，
且方程组
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
3． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
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得到所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换
，有
不全为
当a=0时
，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
4．
设线性方程m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况
，备解时求出其解
.
其中t
为任意常数.
线性表出，也可
（
Ⅱ
）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为
由
线性表出，故可设
于是
作初等行变换，
如下
（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数.
故原方程组的通解为
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（3
）当
（4
）当
即
时此时方程组无解. 时
此时方程组无解.
二、计算题
5． 求下列矩阵的特征值和特征向量：
【答案】
所以A
的特征值为
（三重根）.
对于特征值-1，解方程（A+E）x=0.因
（2
）
所以A
的特征值为当
时，解方程（A+E）x=0，由
得对应的特征向量当
时，解方程Ax=0, 由
得对应的特征向量当
时，解方程（A —9E ）x=0, 由
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