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一、填空题

1． 设方程

【答案】

【解析】由题意，有

可确定函数

_____。

2． 曲面

【答案】

和平面y=0的交线绕x 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为_____。

绕x 轴旋转一周所得的曲

, 则,

为周期为4的可导奇函数,

=_____

可

【解析】本题可看作是在在二维坐标系xOz 中，求解曲线面方程，则所求旋转曲面方程为

3． 设f （x ）为周期为4的可导奇函数, 且

【答案】1 【解析】当知

4．

【答案】【解析】 5． 曲线

【答案】（-l , 0） 【解析】将

代入曲率计算公式, 有

整理有

, 解得x=0或-1, 又

, 所以x=-1, 这时y=0

上曲率为

的点的坐标是_____。

=_____。

, 即

时, ,

为任意常数, 由

。

故该点坐标为（-1, 0）

6． 与积分方程

【答案】注：1°方程

等价的微分方程初值问题是_____。

的积分上限x 是积分方程的变量，它是与y 相对应的；而积分表达

式中f （x , y ）dx 中的x 是积分变量，不能将它与积分上限相混淆，

故积分方程应理解为

2

°由于积分方程

后，有恒等式然，当

7． 设常数k>0, 函数

【答案】当当又

故曲线的个数为2。

8． 由方程

_____。 【答案】【解析】构造函数

，则

时, 时,

与x 轴有两个交点, 因此函数

在

内的零点

, 令, 故函数

在

内零点的个数为_____。 , 得驻点x=e 在（0, e]上单调增加;

上单调减少。

,

时，

确定了隐函数

因此积分方程中的y 取

即

显

于是上式两端对x 求导，就得

即

, 故函数f （x ）在

从而x=e为函数f （x ）的极大值点。由于驻点惟一, 极大值也是最大值且最大值

所确定的函数在点

处的全微分

将（1, 0，-1）代入上式得故

。

9．

【答案】-2 【解析】令

，则_____。

，则，故

将 10．设是由

【答案】

代入得。

所确定，则

为球体

，则

_____。

【解析】令

11．直线L ：

【答案】【解析】设有

又因

即

由此式得

（2）式代入（1）式中，得

，绕直线L 1：

旋转一圈所产生的曲线方程是_____。

是1上的一点，当L 绕L 1旋转时，M 0旋转到

此时