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一、计算题

1．

估计.

【答案】因为

服从

所以

于是

所以，经修偏，

2． 设随机变量

【答案】从

即

不是的无偏估计，但它是的渐近无偏估计，

相应的密度函数为

是来自

的样本，已知为

的无偏估计，试说明

是否为的无偏

是的无偏估计.

已知

和

求两个参数n 与p 各为多少？ 中解得n=6, p=0.4.

3． 设猎人在猎物100m 处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5. 若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150m. 若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200m. 若第三枪还未命中，则猎物逃逸. 假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率.

【答案】记X 为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，

所以有

又因为在100m 处命中猎物的概率为0.5, 所以

. 因为各次射击是独立的，所以

4． 某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位:min ）服从均匀分布

假设

的先验

分布为

，其中

未知，

从中解得

k=50.若以事件A ，B ，C 依次记“猎人在100m 、150m 、200m 处击中猎物”，

则

假如此人在三个早上等车的时间分别为

5, 3, 8min , 求后验分布.

【答案】

与

的联合分布为

此处

于是的后验分布为

5． 设总体密度函数如下，

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）总体均值故参数的矩估计为（2）总体均值从而参数的矩估计（3）由参数的矩估计

可得

由此，

所以

即

，所以

与的联合分布为

是样本，试求未知参数的矩估计.

（4）先计算总体均值与方差

由此可以推出

6． 掷一颗骰子100次，记第次掷出的点数为试求概率

【答案】由题意可得

从而参数

的矩估计为

点数之平均为

利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得

这表明:掷100次骰子点数之平均在3到4之间的概率近似为

7． 设随机变量

的分布列如下，且满足

表

1

【答案】记

的联合分布列为

表

2

试求

很接近于1.

.

由知:，所以表

3

. 即

又因为

同理由

可知表

4

，即

又由分布列的正则性得

，因此