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一、计算题

1． 点曲线运动时，下述说法是否正确:

（1）若切向加速度为正，则点作加速运动；

（2）若切向加速度与速度符号相同，则点作加速运动； （3）若切向加速度为零，则速度为常矢量。

【答案】（1）不正确。若速度亦为正，则点作加速运动；若速度为负，则点作减速运动。 （2）正确。

（3）不正确。切向加速度为零时，速度大小不变，速度方向改变，所以速度不是常矢量。

2． 图（a ）所示置于光滑水平面上的槽形板和在槽形板上做纯滚动的均质圆柱的质量均为m ，连接槽形板与圆柱中心的水平弹簧的弹簧刚度系数为k. 用拉格朗日方程写出系统的运动微分方程和初积分

.

图

【答案】系统具有两个自由度，选槽的水平线位移中

为弹簧原长处，如图（b ）所示. 系统的动能为

式中

为圆柱质心C 的绝对速度，

且有; 为圆柱的角速度，有

代入后整理得

系统为保守系统，其势能为

则拉格朗日函数为

将拉格朗日函数代入拉格朗日方程

为圆柱对质心C 的转动惯量，

有和圆柱的水平线位移

为广义坐标，其

和

运算后可得系统的运动微分方程为

因为拉格朗日函数中不显含坐标

所以对应

有循环积分（广义动量积分）

常数，即

又因为系统为保守系统，其机械能守恒，即具有能量积分，为

3． 弹簧的刚度系数为c ，上端固定，下端悬挂着质量各为m 和（a ））, 物块所在光滑斜面与水平面夹角为放，当

的两个物块M 和

（见图1

. 弹簧与斜面平行，弹簧无变形时，将系统由静止释

运动到最低位置时突然与M 脱离，试求此后物块M 的运动规律

.

图1

【答案】（1）求未脱离M 且处于最低位置时，M 距静平衡位置当弹簧下端悬挂着两个物块M 和图1（a ））:

②当

与M 脱离后，仅有M 处于静止状态时，由平衡方程，可求得弹簧此时的静伸长减小

点的距离

并处于静止状态时，由平衡方程可求得弹簧的静伸长（见

为（见图1（b ））:

③求以和弹性力

未脱离M 时的静平衡位置为原点，坐标轴平行于斜面向下（见图1（c ））. 视M 和

，

在任意位置

作用力有重力

其中

由牛顿第二定律可以写出运动微分方程为

为一质点系，运动的初始条件为t=0时，

以及反力#，

即

或者

其中固有频率

上式是无阻尼自由振动微分方程的标准形式. 其振幅

此即

与M 未脱离且处于最低位置时，M 到

点的距离.

（2）求仅有物块M 时的运动规律

图2

以仅有M 时的静平衡位置O 为原点，坐标轴x 平行于斜面向下（见图2）. 物块M 的运动初始条件应为:

而

在任意位置X ，物块M 受重力弹性力F 和反力W 作用，其中分方程

可写为

即

或

其中，固有频率

上式也是无阻尼自由振动微分方程的标准形式，它的通解为

物块M 的运动微