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一、解答题

1．

已知

且

.

求

又

又

知

即

2． 设n 阶实对称矩阵A

满足

（Ⅰ）求二次型（Ⅱ

）证明[!

【答案】

（Ⅰ）设

由于

从而

的规范形；

是正定矩阵，

并求行列式

的值.

即或

贝

因为A 是

为矩阵A 的特征值，

对应的特征向量为

又因

故有

解得

且秩

得

故

知

故

【答案】

由题意知

实对称矩阵，所以必可对角化，

且秩于是

那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.

故二次型

（Ⅱ）因

为

第 2 页，共 40 页

的规范形为

所以矩阵B 的特征值是

：

故

由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，

且

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3． 设三阶方阵A

、B

满足

式

的值.

其中E 为三阶单位矩阵

.

若

求行列

【答案】由矩阵知

则. 可

逆.

又

故即

所以

即

而

故 4． 已知

，

求

【答案】令则且有1

所以

二、计算题

5． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：

第 3 页，

共

40 页

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【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；

（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.

6．

设

证明【答案】因

故

7．

设

是m

阶矩阵

也是方程Ax=b的解.

的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.

特征向量

有

是非齐次线性方程组Ax=b的S 个解

，

也是它的解.

为实数，满足

【答案】根据特征值的定义证明.

设A 是矩阵AB 的任-非零特征值

，是对应于它的特征向量.

即有用矩阵B 左乘上式两边，

得若再由

则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明

.

式得

因此

事实上，由

8．

设

求

【答案】

若记

其中

则A 成为一个分块对角矩阵. 于是

因

故故. 代入即得

9．

设

，

，，

线性相关.

，证明向量组线性相关.

【答案】

方法一、由定义，

知向量组

方法二、两向量组线性表示的矩阵形式为：

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