2018年中国海洋大学水产学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
时
此时方程组无解.
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型.
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【答案】
⑴由可得
，
则矩阵
解得
B 矩阵的特征值为
：当
时
，解
得对应的特征向量为
当时，解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为：
将
单位转化为
：
. 令X=Qy, 则
线性无关.
和向量组
3
．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
线性无关，
列向量组
（Ⅰ）证明存在非零列向量
使得可同时由向量组线性表示
；
时
，求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关
，故存在一组不
即
，
线性无关，故
不全为
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为0.
使得可同时由向量组
【答案】（Ⅰ）由于
4个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；向量组
（Ⅱ）易知，求出齐次线性方程组下面将方程组
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于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，所有非零列向量
4．
设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型
（
Ⅱ）证明[!
【答案】（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，并求行列式
的值.
即或
贝
因为A
是
为矩阵A 的特征值，对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
所有非零解
_
t 为任
实对称矩阵
，所以必可对角化，且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：
1
（
k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
故
的规范形为
所以矩阵B 的
特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
二、计算题
5． 求下列矩阵的逆阵：
（1）（2）
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