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一、计算题

1． 质量为m 的点在平面Oxy 内运动, 其运动方程为

其中a , b 和为常量. 求质点对原点O 的动量矩. 【答案】由质点对定点的动量矩公式可得

即

其中

解得

2． 如图1所示，一小型气垫船沿水平方向运行，初始质量为体，相对喷射速率

为常量，阻力近似地与速度成正比，即

的速度随时间变化的规律

.

以

的速率均匀喷出气

设开始时船静止，求气垫船

图1

【答案】取气垫船为研究对象，设气垫船t 时刻的质量为变质量下质点运动的动力学方程为:

联立①②可得气垫船的速度随时间变化规律为:

则该时刻的动力学方程为:

3． 如图1所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA

的转速

OA=0.3m。当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，

筛子BC 的速度。

求此瞬时

图1

【答案】速度分析如图2所示，可知BC 杆平动。

图2

由速度投影定理可得其中解得

4． 已知图1所示两个自由度系统，其中A 和B 的质量分别为为1. 求系统的运动微分方程和固有频率

.

和

弹簧的刚度系数为k , 摆长

图1

【答案】

图2

系统具有两个自由度，取弹簧的变形x 和摆杆与铅垂线夹角为广义坐标. 广义力为:

动能:

由速度叠加原理:

上式中

，则代入（1）再代入拉格朗日方程

得到:

微幅振动下近似

上式化简为:

即

解得:

5． 试推导刚体作匀速转动和匀加速转动的转动方程。

【答案】刚体作匀速转动时角加速度

为常数，由

积分得匀速转动的转动方程