2018年仲恺农业工程学院粮食、油脂及植物蛋白工程314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即 2．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
得
故
知
故
【答案】
由题意知
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A
的对应于特征值1
，2, -1的特征向量得
：令记
有
. 因此
即
则
P 可逆，且
3． 已知A 是3阶矩阵
，
是3维线性无关列向量，
且
（Ⅰ）写出与
A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求
A 的特征值和特征向量
： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
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对于矩阵
B ，
由
得
所以
得特征向量那么由：
即
是A 的特征向量
，于是A 属于特征值-1的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ）由
知
故
芄中
不
4．
证明n 阶矩阵
与相似.
【答案】设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的
n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1重特征值
对于n-1重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
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