当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 设

求

所以A

的特征值为

取基础解系

（1）求正交矩阵P 和对角阵D , 使（2）设

【答案】 （1

）因为

对于

将之正交化,

解方程组

单位化得

对于

解方程组

取基础解系

将其单位化得

令 （2）由

—般地,

于是

第 2 页，共 55 页

则P 是正交矩阵, D 是对角矩阵, 且

2． 设n 阶实方阵A 如下，试求b 的取值范围使A 为正定方阵

.

【答案】记为A 的k 阶顺序主子式，则

所以，A 为正定矩阵的充要条件是

由于A 正定的充要条件是

即

3． 设

是n 维线性空间V 的线性变换,

设

表示的核空间, 求证:

【答案】在V 中取一组基

核空间所以同理又因为

在

中所有向量关于

的坐标实际上是的解空间,

下对应矩阵为AB , 所以

所以

第 3 页，共 55 页

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

4． 设（1）证明：（2）证明：

【答案】（1）显然，所以（2）

故线性方程组

5． 设给出一基:

因此

必有解. 的解是与

与均为实数.

的解. 又设同解，所以

有解.

，则 所以

. 即

为数域K 上全体多项式作成的线性空间, 为由0及K 上次数小于n 的全体多项

式作成的n

维空间, 问:以下的对多项式普通运算是否作成K 上线性空间？维数为何？并

【答案】

又显然K

上多项式因为若

的所有系数之和为0, 作成K 上线性空间显然.

都属于且线性无关:

于是又若

于是

K 上n-1维线性空间, 即

则

则维子空间

.

的一个子空间, 又显然若

则即零空间, 若

且M 中任意有限个多项式显然都线性无关且对任意

则

线性表示,

因此,

是

即

中每个多项式都可由

作成K 上线性空间显然, 它是

因此, 是K 上无限维线性空间, 而且可认为M 为其一基（扩大的基的概念）.

为其一基（扩大

作成线性空间显然. 而且类似②易知, 是无限维线性空间, 又

的基的概念）.

6． 求正交矩阵T 使

（1）

成对角形, 其中A 为

第 4 页，共 55 页