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一、计算题

1． （1）求算符【答案】⑴

即算符⑵则

不对易.

得证.

的对易关系. （2）证明

其中

2． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：

由于动量的本征函数为

故哈密顿算符的矩阵元为：

3． 质量为m 的粒子处于角频率为的一维谐振子势中.

（a ）写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数（可不归一化）. （b ）写出在动量表象中的哈密顿算符.

（c ）证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为

.

【答案】（a ）在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为本征值和波函数

（b ）在动量表象中坐标算符可表示为

则哈密顿算符为

（c ）在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为

4． —个电子在沿正Z 方向的均匀磁场B 中运动（只考虑自旋），在t=0时测量到电子自旋沿正X 方向，求在t ＞0时的自旋波函数以及的平均值. 【答案】

在

表象下，

由

可以解得

：

其中

时态矢为：

分别为朝上和朝下时的波函数.

即t=0

则一维谐振子的势能为

时刻电子自选波函数

电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为：故

状态为的本征态，对应本征值为：

t ＞0时刻电子自旋波函数应为

写成矩阵形式，即

而

平均值为

5． 质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动. （a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程. （b ）当粒子处于状态率. 其中（c ）若上式的

分别是基态和第一激发态.

是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数.

时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概

【答案】（a ）如图建立坐标系，

图

设波函数当当令

哈密顿算符

满足薛定谔方程时，时，

则

的通解可表示为

利用边界条件由归一化可解得

得，

定态薛定谔方程的解为

对应的定态能量为（b ）当粒子处于态

几率1/4 ;

几率3/4

时，能量的可能值及几率为：