2017年山东科技大学常微分方程和概率论之概率论复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求
【答案】由条件知P （AB ）=P（A ）P （B ）=0，
所以
2． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.
【答案】将此问题看成是：5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=1-p（5个人生日全不同月）
3． 一射手单发命中目标的概率为p （
）, 射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命
中目标所需的射击次数, Y 为总共进行的射击次数, 求（X , Y ）的联合分布和条件分布.
【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中, 首次命中的射击次数X 服从几何分布
, 即
其中p 为命中概率, 第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布Nb （2, p ）, 即
由于X 与Y-X 相互独立, 所以条件分布
从而（X , Y ）的联合分布列为
另一条件分布
注:从以上条件分布列
第一次命中目标的射击次数X 是在前面
可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下, 次射击中等可能的.
4． 某电工器材厂生产一种保险丝，测量其熔化时间，依通常情况方差为400, 今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得差与通常有无显著差异（取
当
时，查表知
下可以认为该天保险丝熔化时间的方差
【答案】本题可归结为关于正态总体方差的双侧检验问题
因此拒绝域为
问这天保险丝熔化时间的方
或
，假定熔化时间服从正态分布）？
此处，检验统计量为
该值没有落入拒绝域内，
从而在显著性水平
与通常无显著差异.
5． 一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接，求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.
【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有6! 种不同结果，即先从6个头中任取1个，与余下的5个头中的任1个相接；然后从未接的4个头中任取1个，与余下的3个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6! 种可能接法，这是分母，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步从未接的4个头中任取1个，与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，
这总共有
种可能接法，由此得所求概率为
6． 某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得其平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）, 取使用原料B 生产的样品24件，测得其平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ），设产品质量服从正态分布，两个样本独立，问能否认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大（取
）？
【答案】设X 为使用原料A 生产的产品质量，Y 为使用原料B 生产的产品质量，
则
由问题的陈述，我们看到这是关于两总体均值的检验问题，且为了
能够显著地认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 大，必须将该陈述作为备择假设，只有当拒绝与之相对立的原假设时，才能说明使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大，因此，可建立如下假设检验问题
为完成此假设检验，应先对两总体的方差是否相等进行检验，若接受本t 检验；若
不成立，则可以用近似t 检验，对于检验问题
计算如下检验统计量
可以使用两样
可
若取拒绝域为若取
则
贝!J
观测值未落入拒绝域内，由此可以认为两个总体的.... 故拒绝域为
由所给条件，计算得
方差相等，下面我们在方差相等的假定下检验上述关于均值的假设，此处可使用两样本t 检验，
由于因此在显著性水平时，应接受原假设即使用原料B 生
产的产品平均质量没有显著地超过使用原料A 生产的产品平均质量.
7． 在区间（0, 1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率.
【答案】这个概率可用几何方法确定，在区间（0, 1）中随机地取两个数分别记为x 和y , 则y ）（x ，的可能取值形成如下单位正方形
其区域为图中的阴影部分
.
其面积为
而事件A“两数之和小于7/5”
可表示为
图
所以由几何方法得
8． 设
试证
为枢轴量，其中k 为已知常数： 【答案】因为
，故
其中
是自由度为n-l 的非中心t 分布，其非中心参数
为已知常数. 又
为抽自正态总体的简单随机样本. 欲估讨
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